函数

南京初中数学函数模块的知识点、考点、题型汇总

☀️包含内容

本专题涵盖初中数学概述中 🔵3-变量与函数 章节的全部考点：

⭕️8A-04-平面直角坐标系

○[8A]考点1：平面直角坐标系
○[8A]考点1：图形变换与坐标变化

⭕️8A-05一次函数

○[8A]考点1：变量与函数
○[8A]考点2：一次函数的图象与性质
○[8A]考点3：一次函数与二元一次方程
○[8A]考点4：一次函数的应用

⭕️反比例函数

○[8B]考点1：反比例函数图象
○[8B]考点2：反比例函数与一次函数应用
○[8B]考点3：反比例函数应用

⭕️9B-05-二次函数

○[9B]考点1：二次函数图象
○[9B]考点2：二次函数系数
○[9B]考点3：二次函数与方程不等式
○[9B]考点4：抛物线距离面积角度
○[9B]考点5：抛物线与特殊三角形和四边形
○[9B]考点6：抛物线与全等三角形和相似三角形
○[9B]考点7：二次函数综合应用

⭕️9B-07-锐角函数

○[9B]考点1：锐角三角函数（sin/cos/tan）
○[9B]考点2：解直角三角形

☀️ 关联错题

7N-数学-原始错题

（一次函数、反比例函数、二次函数为8A及以后内容，7N暂无）

8N-数学-原始错题

[[数学错题-8A-04-平面直角坐标系]]
[[数学错题-8A-05-一次函数]]
[[数学错题-8B-06-数据的收集整理]]
[[数学错题-8B-11-二次根式]]

9N-数学-原始错题

[[数学错题-9B-05-二次函数]]
[[数学错题-9B-07-锐角函数]]

🎥 核心考点-《视频课堂》

⭕️8A-04-平面直角坐标系

✅️考点：平面直角坐标系特征

视频课堂-《洋葱数学》

✅️考点：坐标和平移

视频课堂-《洋葱数学》

⭕️8A-05一次函数

📚 核心考点-《理论课堂》

⭕️8A-04-平面直角坐标系

✅️考点：平面直角坐标系特征

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系.
$x$轴(横轴)：水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向
$y$轴(纵轴)::竖直的数轴称为y轴或纵轴,习惯上取向上为正方向
原点：两坐标轴的交点 O称为平面直角坐标系的原点
坐标：由平面直角坐标系中的点$A$分别向$x$轴和$y$轴作垂线,垂足在$x$轴上的坐标为$a$,垂足在$y$轴上的坐标为$b$,我们就说点$A$的横坐标为$a$,纵坐标为$b$,有序数对$(a,b)$就叫作点$A$的坐标,记作“$A(a,b)$".
象限：建立平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分,每个部分称为象限,分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限
点到坐标轴的距离:点$A(a,b)$到坐标轴的距离:到轴距离为$|b|$,到轴距离为$|a|$.
用坐标描述简单几何图形的方法:
- 分析图形形状,让尽可能多的关键点落在坐标轴上;
- 以几何图形的边所在直线为x轴或y轴;
- 以某个已知点(如顶点,对角线交点)为坐标原点
用坐标表示地理位置:
- 用坐标表示地理位置的步骤:简记为“一建系”“二定长”“三定点”;
- 刻画两个物体的相对位置
- 在航海和地理测绘中,经常用方向和距离来表示两个物体的相对位置,通常以北偏东(西)或南偏东(西)来确定方向.

✅️考点：坐标和平移

点坐标的平移规律:左减右加横坐标,上加下减纵坐标,
点坐标的平移规律
在平面直角坐标系中图形平移的本质:线由点组成,故其本质是点的平移变化,即图形的平移可以转化为点坐标的平移变化
平面直角坐标系中常见的两种平移作图方式:
① 已知平移方式(方向和距离);
② 已知平移前后的部分点坐标

⭕️8A-05一次函数

✅️考点：变量函数与图象

变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
函数与函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 $x$ 和 $y$，并且对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 $x$ 是自变量，$y$ 是 $x$ 的函数。
如果当 $x=a$ 时 $y=b$，那么 $b$ 叫做当自变量的值为 $a$ 时的函数值。
解析式
- 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系；
- 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量取值的全体。
函数图象概念
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
表示函数的三种方法
①列表法：把自变量的一系列值和对应的函数值列成一个表，用来表示两个变量之间函数关系；
② 图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系；
③解析式法：用含自变量的代数式表示函数关系。
正比例函数概念
一般地，形如 $\boldsymbol{y=kx}$（$k$ 是常数，$k \neq 0$）的函数，叫做正比例函数，其中 $k$ 叫做比例系数。
正比例函数的图象与性质
(1) 正比例函数的图象：一般地，正比例函数 $y=kx$（$k$ 是常数，$k \neq 0$）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 $y=kx$；
(2) 正比例函数的图象与性质

✅️考点：一次函数图象与性质

概念:形如 $\boldsymbol{y=kx+b}$（$k,b$ 是常数，$k \neq 0$）的函数，叫做一次函数。
当 $b=0$ 时，$y=kx+b$ 即 $y=kx$，因此正比例函数是特殊的一次函数。
一次函数的图象
一次函数 $y=kx+b\ (k \neq 0)$ 的图象可由直线 $y=kx$ 平移 $|b|$ 个单位长度得到：
- $b>0$：向上平移；
- $b<0$：向下平移。一次函数 $y=kx+b\ (k \neq 0)$ 的图象是一条直线，称直线 $y=kx+b$。
一次函数图象的画法
- 两点法
  当 $b \neq 0$ 时，画出过点 $(0,b)$ 和点 $(1,k+b)$ 的直线；
- 平移法
  先画出 $y=kx$ 的图象，再将其平移 $|b|$ 个单位，得到一次函数 $y=kx+b$ 的图象。

[!note]
一次函数是直线，$k$ 和 $b$ 值是关键；$k$ 值正负定增减，$b$ 值上下定位置。

一次函数的平移
- 一次函数图象的平移：左加右减，上加下减
一次函数表达式的技巧：
- 当函数图象经过原点时，设 $\boldsymbol{y=kx}$；
- 已知函数图象与 $y$ 轴交于点 $(0,m)$，设 $\boldsymbol{y=kx+m}$；
- 已知函数图象与直线 $y_1=kx+b$ 平行，设 $\boldsymbol{y=kx+b_2}$。

✅️考点：一次函数与方程和不等式

一次函数与一元一次方程的关系
关于 $x$ 的一元一次方程 $kx+b=0$ 的解，即一次函数 $y=kx+b$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标。
一次函数与一元一次不等式的关系
关于 $x$ 的不等式 $kx+b>0$（或 $<0$）的解集，即为一次函数 $y=kx+b$ 的图象在 $x$ 轴上方（或下方）所有点的横坐标的取值范围。
一次函数与二元一次方程（组）的关系
- 一次函数与二元一次方程：每个二元一次方程都对应一个一次函数，同时对应一条直线；这条直线上任意一点的坐标，都是该二元一次方程的解。
- 一次函数与二元一次方程组：二元一次方程组的解，就是两个一次函数图象交点的坐标。
方程的解和直线交点的转化
方程 $kx+b=n\ (k \neq 0)$ 的解 $\iff$ 直线 $y=kx+b\ (k \neq 0)$ 与直线 $y=n$ 交点 $P$ 的横坐标。

⭕️反比例函数 y=k/x

k>0 图像在一三象限，k<0 图像在二四象限
图像是双曲线，无限接近坐标轴但不相交
面积性质：|k| = xy = 矩形面积
与一次函数综合：求交点、比较大小

⭕️二次函数 y=ax²+bx+c

开口方向：a>0向上，a<0向下
对称轴：x=-b/(2a)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
与x轴交点：Δ=b²-4ac，Δ>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点
系数a、b、c的符号判断：
- a看开口方向
- b看对称轴位置（"左同右异"）
- c看与y轴交点
- Δ看与x轴交点个数
最值问题：顶点处取得最大值或最小值
综合应用：
- 抛物线中的距离、面积、角度问题
- 与特殊三角形（等腰、直角）的结合
- 与四边形（平行四边形、梯形）的结合
- 与全等、相似三角形的结合

⭕️锐角三角函数

sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边，tanA = 对边/邻边
特殊角：sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=√3/3
sin45°=√2/2, cos45°=√2/2, tan45°=1
sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3
解直角三角形：已知一边一角或两边，求其余元素

📝 记忆口诀

一次函数直线走，k正上升k降。反比例双曲线，k正一三k二四。二次函数抛物线，开口方向看a系数。

📝 典型题型

选择题：函数图像判断、系数符号分析
计算题：求函数解析式、求交点坐标
应用题：一次函数最优方案、二次函数最值
压轴题：二次函数综合（面积最值、存在性问题、相似三角形）